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分数维数概念的产生

作者:江南 曲安京

关键词: 康托尔集 容度 测度 分数维数

摘要:分数维数概念的产生是数学发展历程中的一件重大事件,它在分形理论的建立过程中起着关键性作用,研究它的产生过程对于完善数学的发展历史具有非常重要的意义。为了测量康托尔集的大小,康托尔和雷蒙德率先提出了容度理论,皮亚诺和若尔当相继改进了容度理论,波莱尔和勒贝格则将容度理论升华为测度理论,从而攻克了一些病态函数在黎曼意义下难以求积的难题。受此启迪,卡拉泰奥多里对测度理论进行了公理化探究,在外测度和集函数之间建造了连通彼此的桥梁,还基于q维空间给出了线性测度和p维测度的概念。豪斯多夫则顺势将维数的取值范围推广到非整数,创立了豪斯多夫测度和豪斯多夫维数,从而解决了康托尔集的测量问题。贝西科维奇在豪斯多夫维数的基础上,完善了分数维数的概念。


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